PRUEBA DE Z

El valor Z se define matemáticamente con la fórmula:

Donde: Z = valor estadístico de la curva normal de frecuencias. X = cualquier valor de una muestra estadística. = promedio o media aritmética obtenido de la muestra estadística, valor representativo. s = desviación estándar.

Pasos:

1. Calcular el promedio y la desviación estándar de las observaciones de la muestra en estudio.
2. Del valor del cual se desea obtener una inferencia estadística, calcular la diferencia que existe con respecto al promedio: X - .
3. Dividir la diferencia calculada entre la desviación estándar obtenida de la muestra en estudio, que corresponde al valor Z.
4. Localizar el valor Z calculado, en la tabla de probabilidades asociadas con valores tan extremos como los valores observados de Z en la distribución normal y obtener la probabilidad de que exista una magnitud de discrepancia entre los valores X y .
5. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.

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Ejemplo:

Un médico que labora en una población acostumbra efectuar mediciones de peso y talla a sus pacientes, de los cuales dos tienen pesos que difieren de las tres medidas de tendencia central, pero particularmente del promedio. El médico está interesado en saber si los pesos de sus dos pacientes corresponden a esa población y qué tanto difieren de la representación de su grupo de asistencia médica y de estudio.

Los pesos corporales de la población estudiada se encuentran listados del más bajo al más alto en la tabla siguiente, y el médico ha marcado los puntos donde se localizan la media aritmética, la mediana y la moda. Los pesos de sus pacientes problema son de 54 y 80 kg.

Pacientes adultos de tallas similares que asisten a consulta médica.

Elección de la prueba estadística.
El modelo de investigación tiene una muestra. Las mediciones de la tabla anterior son cuantitativas, de variable continua, por lo tanto, tienen una escala de intervalo. Los intervalos entre un peso menor y otro mayor y entre todos los valores parecen no diferir notoriamente y permiten suponer que se distribuyen normalmente. Véase: Estadística/Flujogramas/Flujograma 1

Planteamiento de la hipótesis.

• Hipótesis alterna (Ha). Los pesos corporales de los dos sujetos de investigación y asistencia médica (54 y 80 kg) difieren significativamente del promedio, por lo tanto, no corresponden a la población.
• Hipótesis nula (Ho). Las diferencias de los pesos de los sujetos de estudio se deben al azar, por lo cual no hay diferencias significativas y corresponden a la misma población.

Nivel de significación.
Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.

Zona de rechazo.
Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.

Aplicación de la prueba estadística.
Tomando en cuenta los paso, se calcula el promedio o media aritmética. De acuerdo con la siguiente fórmula:

La desviación estándar se calcula con la ecuación siguiente:

Una vez calculados el promedio y la desviación estándar, se calcula el valor Z.

En la tabla de probabilidades asociadas en valores extremos como los de 2 en la distribución normal, se busca la localización de los valores Z₁ y Z₂ calculados, a fin de obtener la probabilidad de su magnitud de discrepancia con respecto a la media aritmética.

El primer valor de Z₁ es 1.69, de modo que se localiza el 1.6 y en la intersección de la columna 0.09, correspondiente a las centésimas, se observa el valor 0.0455. Esta es la probabilidad de que el valor 54 kg pertenezca a la población de pesos corporales, donde el promedio es 73.2 kg y la desviación estándar 11.39 kg.

El segundo valor de Z₂ es 0.6, de manera que en la tabla se observa esa cifra y en la intersección de la columna 0.00 se halla el valor 0.2743.

Decisión.
El valor de Z₁ tiene una probabilidad menor que la de significancia. Para este caso, se acepta Ha y se rechaza Ho. Para el valor de Z₂, la probabilidad es aproximadamente de 0.27, pero de cualquier manera mayor que el nivel de significancia, el cual se ubica en la zona de rechazo. Se acepta Ho y se rechaza Ha.

Interpretación.
El peso del individuo que tiene 54 kg difiere notoriamente del promedio, que es la representativa de esa población, a un nivel de confianza menor que 0.05; en cambio, el otro sujeto sólo difiere a un nivel mayor que 0.05 de confianza, lo cual significa que está dentro de la población de tallas similares.

La siguiente figura contiene tanto el polígono de frecuencias en función de una serie de clases elaboradas con las observaciones de 150 pesos corporales, como los límites de las desviaciones estándar con respecto al promedio. Los valores Z de los dos pesos problema se dibujan con dos flechas, de acuerdo con los valores de peso que corresponden. La Z₁ se encuentra muy por fuera de -1 desviación estándar y muy cercana a -2 desviaciones estándar. Para ser más precisos, tiene 1.69 desviaciones estándar, igual al valor Z; en cambio, el valor Z₂ tiene 0.6 desviaciones estándar y aún se encuentra dentro del límite de +1 desviación estándar. Cabe recordar que +1 y -1 desviaciones estándar se encuentran aproximadamente en el 68% de las mediciones.

Con todo lo anterior se comprende el significado del valor Z en la curva normal de frecuencias: es el número de desviaciones estándar que se desvían con respecto al promedio o media aritmética.

Estadistica inferencial:
Es aquella que estudia los meodos mediante los cuales se obtienen generalizaciones o se toman desiciones con base a una informacion parcial o incompleta obtenida mediante tecnicas descriptivas.

Curva de distribcion normal.

Caracteristicas:

• Es simetrica especto al eje "y" es decir, el área bajo la curva es la misma de cero a+∞ que de cero a-∞.
• Es concava hacia abajo entre x= -1 y x= 1 cóncava hacia arria en el resto de la curva.
• Asintótica con respectto al ejej de las "x" en ambos sentidos es decir, se extiende en ambas direcciones hasta el infinito sin toca nunca e eje de las abscisas.
• Para x=o "y" tiene su valor maximo que es aproximadamente 0.4.
• Las probabilidades de variables aleatorias siempre seran para un intervalo de valores.

• El area bajo la curva entre la media y cualquier otro punto está en funcion del número de desviaiones estándar que el punto diste de la media.

Areas bajo la curva.
 E hablar de una curva normal estandar N (0,1)  significa la curva nomal con media µ=0 y desviacion estadar σ=1.

  

La probabilidad designada al intervalo comprrendido entre a y b sobre el eje x, es el area comprendida entre a, b y la curva normal standar (grafica f).

EJEMPLO 1:

Obtenga la proporcion de área bajo la curva que existe entre la media µ=0 y Z=1.

Solucion:

Observando la tabla de valores, en la primera columna para; Z=1 el área bajo la curva normal standar entre µ=0 y Z=1 es igual a 0.3413 que graficamente se representa en la grafica (g).

El área bajo la curva igual a 0.3413 tambien se puede expresar como el 34.13% del área total que es el 100%.

Tambien se puede decir que la probabilidad de que un evento se localice entre el cero y uno es igual a 0.3413.

Notése que al hablar del área bajo la curva sse esta hablando tambien de una pobabilidad.

Area bajo la curva = probabilidad.

El áreabajo la curva entre 0 y -1 por simetria de la curva nomal standar, es igual a 0.3413.

Diseño de hipótesis..

Una hipótesis estadística es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones.
Suponga que se tiene interés en la rapidez de combustión de un agente propulsor sólido utilizado en los sistemas de salida de emergencia para la tripulación de aeronaves. El interés se centra sobre la rapidez de combustión promedio. De manera específica, el interés recae en decir si la rapidez de combustión promedio es o no 50 cm/s. Esto puede expresarse de manera formal como

H_o; = 50 cm/s

H₁; 50 cm/s

La proposición H_o; = 50 cm/s, se conoce como hipótesis nula, mientras que la proposición H₁; 50 cm/s, recibe el nombre de hipótesis alternativa. Puesto que la hipótesis alternativa especifica valores de que pueden ser mayores o menores que 50 cm/s, también se conoce como hipótesis alternativa bilateral. En algunas situaciones, lo que se desea es formular una hipótesis alternativa unilateral, como en

H_o; = 50 cm/s H_o; = 50 cm/s

ó

H₁; < 50 cm/s H₁; > 50 cm/s

Es importante recordar que las hipótesis siempre son proposiciones sobre la población o distribución bajo estudio, no proposiciones sobre la muestra. Por lo general, el valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis nula se determina en una de tres maneras diferentes:

1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del proceso, entonces el objetivo de la prueba de hipótesis usualmente es determinar si ha cambiado el valor del parámetro.
2. Puede obtenerse a partir de alguna teoría o modelo que se relaciona con el proceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo.
3. Cuando el valor del parámetro proviene de consideraciones externas, tales como las especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones contractuales. En esta situación, el objetivo usual de la prueba de hipótesis es probar el cumplimiento de las especificaciones.

Un procedimiento que conduce a una decisión sobre una hipótesis en particular recibe el nombre de prueba de hipótesis. Los procedimientos de prueba de hipótesis dependen del empleo de la información contenida en la muestra aleatoria de la población de interés. Si esta información es consistente con la hipótesis, se concluye que ésta es verdadera; sin embargo si esta información es inconsistente con la hipótesis, se concluye que esta es falsa. Debe hacerse hincapié en que la verdad o falsedad de una hipótesis en particular nunca puede conocerse con certidumbre, a menos que pueda examinarse a toda la población. Usualmente esto es imposible en muchas situaciones prácticas. Por tanto, es necesario desarrollar un procedimiento de prueba de hipótesis teniendo en cuenta la probabilidad de llegar a una conclusión equivocada.
La hipótesis nula, representada por H_o, es la afirmación sobre una o más características de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la "creencia a priori").
La hipótesis alternativa, representada por H₁, es la afirmación contradictoria a H_o, y ésta es la hipótesis del investigador.
La hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa, sólo si la evidencia muestral sugiere que H_o es falsa. Si la muestra no contradice decididamente a H_o, se continúa creyendo en la validez de la hipótesis nula. Entonces, las dos conclusiones posibles de un análisis por prueba de hipótesis son rechazar H_o o no rechazar H_o.

Prueba de una Hipótesis Estadística

Para ilustrar los conceptos generales, considere el problema de la rapidez de combustión del agente propulsor presentado con anterioridad. La hipótesis nula es que la rapidez promedio de combustión es 50 cm/s, mientras que la hipótesis alternativa es que ésta no es igual a 50 cm/s. Esto es, se desea probar:

H_o; = 50 cm/s

H₁; 50 cm/s

Supóngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10 especímenes, y que se observa cual es la rapidez de combustión promedio muestral. La media muestral es un estimador de la media verdadera de la población. Un valor de la media muestral que este próximo al valor hipotético = 50 cm/s es una evidencia de que el verdadero valor de la media es realmente 50 cm/s; esto es, tal evidencia apoya la hipótesis nula H_o. Por otra parte, una media muestral muy diferente de 50 cm/s constituye una evidencia que apoya la hipótesis alternativa H₁. Por tanto, en este caso, la media muestral es el estadístico de prueba.

La media muestral puede tomar muchos valores diferentes. Supóngase que si 48.551.5, entonces no se rechaza la hipótesis nula H_o; = 50 cm/s, y que si <48.5 ó >51.5, entonces se acepta la hipótesis alternativa H₁; 50 cm/s.

Los valores de que son menores que 48.5 o mayores que 51.5 constituyen la región crítica de la prueba, mientras que todos los valores que están en el intervalo 48.551.5 forman la región de aceptación. Las fronteras entre las regiones crítica y de aceptación reciben el nombre de valores críticos. La costumbre es establecer conclusiones con respecto a la hipótesis nula H_o. Por tanto, se rechaza H_o en favor de H₁ si el estadístico de prueba cae en la región crítica, de lo contrario, no se rechaza H_o.

Este procedimiento de decisión puede conducir a una de dos conclusiones erróneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero de la rapidez promedio de combustión del agente propulsor sea igual a 50 cm/s. Sin embargo, para todos los especímenes bajo prueba, bien puede observarse un valor del estadístico de prueba que cae en la región crítica. En este caso, la hipótesis nula H_o será rechazada en favor de la alternativa H₁cuando, de hecho, H_o en realidad es verdadera. Este tipo de conclusión equivocada se conoce como error tipo I.

El error tipo I se define como el rechazo de la hipótesis nula H_o cuando ésta es verdadera. También es conocido como ó nivel de significancia.

Si tuviéramos un nivel de confianza del 95% entonces el nivel de significancia sería del 5%. Análogamente si se tiene un nivel de confianza del 90% entonces el nivel de significancia sería del 10%.
Ahora supóngase que la verdadera rapidez promedio de combustión es diferente de 50 cm/s, aunque la media muestral caiga dentro de la región de aceptación. En este caso se acepta H_o cuando ésta es falsa. Este tipo de conclusión recibe el nombre de error tipo II.
El error tipo II ó error se define como la aceptación de la hipótesis nula cuando ésta es falsa.
Por tanto, al probar cualquier hipótesis estadística, existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisión final es correcta o errónea.

Decisión	Ho es verdadera	Ho es falsa
Aceptar Ho	No hay error	Error tipo II ó
Rechazar Ho	Error tipo I ó	No hay error

1. Los errores tipo I y tipo II están relacionados. Una disminución en la probabilidad de uno por lo general tiene como resultado un aumento en la probabilidad del otro.
2. El tamaño de la región crítica, y por tanto la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el o los valores críticos.
3. Un aumento en el tamaño muestral n reducirá y de forma simultánea.
4. Si la hipótesis nula es falsa, es un máximo cuando el valor real del parámetro se aproxima al hipotético. Entre más grande sea la distancia entre el valor real y el valor hipotético, será menor .

Se pueden presentar tres tipos de ensayo de hipótesis que son:

• Unilateral Derecho
• Unilateral Izquierdo
• Bilateral

Dependiendo de la evaluación que se quiera hacer se seleccionará el tipo de ensayo.

• Unilateral Derecho. El investigador desea comprobar la hipótesis de un aumento en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptación y de rechazo.

Ensayo de hipótesis:
H_o; Parámetro x

H₁; Parámetro > x

• Unilateral Izquierdo: El investigador desea comprobar la hipótesis de una disminución en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptación y de rechazo.

Ensayo de hipótesis:
H_o; Parámetro x
H₁; Parámetro < x

• Bilateral: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo.

Ensayo de hipótesis:
H_o; Parámetro = x
H₁; Parámetro x

Para realizar los ejemplos y ejercicios de ensayo de hipótesis se recomienda seguir los pasos mencionados anteriormente. Los ejemplos siguientes se solucionarán por los pasos recomendados, teniéndose una variedad de problemas en donde se incluirán a todas las distribuciones muestrales que se han visto hasta aquí.
Ejemplos:

1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida.
2. Datos:

=70 años
= 8.9 años
= 71.8 años
n = 100
= 0.05

3. Ensayo de hipótesis
H_o; = 70 años.
H₁; > 70 años.


4. Regla de decisión:
Si z_R 1.645 no se rechaza H_o.
Si z_R> 1.645 se rechaza H_o.

5. Cálculos:

6. Justificación y decisión.

Como 2.02 >1.645 se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.

Nivel de confianza

El nivel de confianza es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.

El nivel de confianza (p) se designa mediante 1 − α, y se suele tomar en tanto por ciento.

Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%.

El nivel de significación se designa mediante α.

El valor crítico (k) como z _α/2 .

P(Z>z _α/2) = α/2      P[-z _α/2 < z < z _α/2] = 1 - α

1 - α	α/2	z α/2
0.90	0.05	1.645
0.95	0.025	1.96
0.99	0.005	2.575

En una distribución N(μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p = 1 - α es:

(μ - z _α/2 · σ, μ + z _α/2 · σ )

Ejercicio

La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con varianza σ² = 0,16 m².

Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de las estaturas de la población.

n = 400       x = 1.75        σ = 0.4

1- α = 0.95                    z _α/2 = 1.96

(1.75 ± 1.96 · 0.4/20 )     →   (1.7108,1.7892)